急!!!!!!数列,证明问题`

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 14:25:05
已知数列 an 前n项和Sn=an/2+1/an-1且an>0,n属于正整数.
(1)求a1,a2并猜想an的表达式
(2)证明猜想的正确性

a1/2+1/a1-1=S1=a1
a1=sqrt(3)-1,(因为an>0，另一个根舍去)
a2/2+1/a2-1=S2=a1+a2
a2=sqrt(5)-sqrt(3)
猜想an=sqrt(2n+1)-sqrt(2n-1)
则1/an=0.5(sqrt(2n+1)+sqrt(2n-1))
Sn=an/2+1/an-1=sqrt(2n+1)-1
证明：
Sn-S(n-1)
=sqrt(2n+1)-1-(sqrt(2n-1)-1)
=sqrt(2n+1)-sqrt(2n-1)=an
所以an=sqrt(2n+1)-sqrt(2n-1)满足条件Sn=an/2+1/an-1且an>0